【1次関数】1次関数の式の求め方(2)

こんにちは、まぐろです。

今回は、2点を通る一次関数の式の求め方について解説します。

前回の記事と合わせて、一次関数の求め方を確認しておきましょう。

考え方

2点を通る直線（一次関数）の求め方は次の2通りがあります。

• 変化の割合から求める方法
• 連立方程式で求める方法

変化の割合から求める方法

まず、変化の割合を求める方法から解説します。

どちらかというとこの方法の方が一次関数っぽい解き方かと思います。

解き方はまず、変化の割合を求めて、その後に切片を求めるというものです。

さて、変化の割合は以下の式で求められるのでしたね。

　　$$変化の割合=\frac{yの増加量　　　}{xの増加量　　　}$$

そして、このxの増加量、yの増加量というのは2点がわかっていれば求めることができます。

（詳しくは以下の記事を参考にしてください。）

こうして、求めた変化の割合が一次関数の式\(y=ax+b\)の\(a\)に相当します。

あとは、通る点のどちらか（どちらでも良いです）を代入することで、切片\(b\)を求めます。

連立方程式を解く方法

続いて、連立方程式を使って解く方法を説明します。

この方法では、一次関数の式\(y=ax+b\)に通る点を2点代入します。

すると、得られた2本の式を変化の割合\(a\)と切片\(b\)についての連立方程式とみなすことができます。

あとは、この連立方程式をがんばって解くことで、一次関数の式中の\(a\), \(b\)を求めることができます。

計算例

上記で説明した2通りの方法で解いてみましょう。

変化の割合から求める方法

このやり方では、まず変化の割合を求めます。

点(1, 5)を変化前、点(3, 11)を変化後の点と考えます（逆でもOK）。

すると、\(x\)の増加量は

　　\(xの増加量= 3 – 1 = 2\)

とわかり、同様に、\(y\)の増加量は

　　\(yの増加量= 11 – 5 = 6\)

とわかります。

よって、変化の割合は、

　　$$変化の割合=\frac{yの増加量　　　}{xの増加量　　　}=\frac{6}{2}=3$$

となります。

この段階で、求める一次関数の式は\(y=3x+b\)となります。

ここで、通る点(1, 5)を一次関数の式に代入すると（もう片方の点を代入しても大丈夫です）、

　　$$5 = 3 \times 1 + b$$

　　$$b=5 – 3=2$$

が得られます。よって、求める一次関数の式は\(y=3x+2\)と求めることができます。

連立方程式で解く方法

続いて、連立方程式で求めるやり方を説明します。

一次関数の式\(y=ax+b\)に通る点を両方とも代入すると、

　　\(\begin{eqnarray} \left \{\begin {array}{1}5=a+b\\11=3a+b\end{array} \right. \end{eqnarray}\)

が得られます。

下の式から上の式を引くと、

　　\(6=2a\)

　　\(a=3\)

が得られ、これを上の式に代入すると、

　　\(5=3+b\)

　　\(b=2\)

が得られます。

変化の割合\(a\)と切片\(b\)がわかったので、求める一次関数は\(y=3x+2\)であるとわかります。

まとめ

今回は、2点を通る一次関数の式の求め方を説明しました。

紹介した2つの方法はどちらで解いても大丈夫なので、最低限どちらかの自分が解きやすい方法で解けるようになっておきましょう。

（理想は、両方とも使えるようになっておくことですが…）

2点から一次関数を求める問題は同じやり方で答えを求めることができるので、いっぱい練習して確実に得点できるようになりたいですね。

それでは。